代入排除法、数字特性法巧解不定方程
什么样的方程是不定方程？即未知数的个数多于方程个数的方程，举个简单例子：x+2y=5，这就是一个不定方程。那对于不定方程怎么求解呢？主要有两种方法：1.代入排除，2.数字特性，当然数字特性还包括奇偶特性、因子特性等等。
【例1】集贸市场销售苹果5元/个和火龙果3元/个，花光61元最多可购买这两种水果共多少个？
A.13
B.16
C.18
D.19
答案：D
【解析】第一步，本题考查不定方程问题，用代入排除法解题。
第二步，设购买苹果x个，购买火龙果y个。根据花光61元，可列不定方程：5x+3y=61，要使购买的这两种水果最多，则应该买尽量买便宜的，即使y值尽可能大，那么x值尽可能小，若x=1，y不是整数，排除，若x=2，则y=17，此时共买水果2+17=19(个)。
因此，选择D选项。
【例2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?
A.36
B.37
C.39
D.41
答案：D
【解析】第一步，本题考查不定方程问题，用数字特性法解题。
第二步，设每名钢琴、拉丁舞老师分别带领学员x、y人，由共76人，可列不定方程5x+6y=76。根据奇偶特性，其中6y、76为偶数，则5x为偶数，故x既为偶数也为质数，2是唯一的偶质数，所以x=2，y=11，即每名钢琴老师带2名学员，每名拉丁舞老师带11名学员。
第三步，由所带学生数不变可得，剩余学员有4×2+3×11=41(人)。
因此，选择D选项。
【例3】某会务组租了20多辆车将2220名参会者从酒店接到活动现场。大车每次能送50人，小车每次能送36人，所有车辆送2趟，且所有车辆均满员，正好送完，则大车比小车()。
A.多5辆
B.多2辆
C.少2辆
D.少5辆
答案：A
【解析】第一步，本题考查不定方程问题，用数字特性法解题。
第二步，根据20多辆车将2220人满载2趟正好送完，设大车有x辆，小车有y辆，由题意有2x×50+2y×36=2220，将此不定方程化简得：25x+18y=555，根据因子特性，18y和555都能被5整除，可知y是5的整数倍。当y=5时，x不是正整数，排除;y=10时，x=15，且符合车辆总数20多辆的条件，所以大车比小车多15-10=5辆。
因此，选择A选项。
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